对于一个 n 阶 实对称矩阵(real symmetric) A，其惯性(Inertia)是一个三元数组：In(A) = (i+(A), i–(A), i0(A))。其中 i+(A) 是矩阵 A 正特征值的个数，i–(A) 是负特征值的个数，i0(A) 是零特征值的个数，并且有 i+(A) + i–(A) + i0(A) = n。

根据特征值的关系，矩阵的秩 rank(A) = i+(A) + i–(A)。矩阵的签名定义为 signature(A) = i+(A) – i–(A)。

根据对称矩阵的性质，存在可逆矩阵(非奇异，满秩) P，使得 A = P B Pt， Pt 是 P 的转置变换。在这种变化下，又称 A 与 B 合同( congruence，相合)。关于矩阵合同有西尔维斯特惯性定理（Sylvester’s law of inertia）：

Let A be a symmetric square matrix of order n with real entries. Any non-singular matrix S of the same size is said to transform Ainto another symmetric matrix  B = S A ST, also of order n, where ST is the transpose of S.

任意两个合同矩阵的惯性指数相同，即它们具有相同数目的正特征值、负特征值和零特征值。

西尔维斯特惯性定理给出了无需求得特征值获取矩阵惯性的方法：找到一个容易获取惯性的合同矩阵。对称矩阵可以做 LDLt 分解，其中 D 是对角矩阵，因此我们可以容易的获取对称矩阵的惯性。但是需要注意的是，这种分解不一定总是存在，并且可能数值不稳定。

矩阵合同只适用于对称的方阵(n x n)，强调特征值特征相同。比合同更弱的概念是 矩阵等价(Matrix equivalence)：对于同阶矩阵 A B，存在可逆矩阵 P 和 Q，使得 B = P A Q。矩阵等价的充要条件是秩相同。

比矩阵合同更强的概念是矩阵相似(Matrix similarity)：对于方阵 A B，存在可逆矩阵 P，使得 B = P A P-1。矩阵相似要求矩阵A B有相同的特征值。

参考

  1. What Is the Inertia of a Matrix?
  2. 二次型、合同关系、惯性指数、标准型、规范型，XTAX
  3. 矩阵的等价，相似，合同
分享